<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
          Endereo Internet: 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                               I
Sumrio 

Sexta Parte

Unidade 7

Equaes e inequaes ::::: 575
1 -- Equaes do 1 grau 
  e problemas :::::::::::::: 578
Equaes do 1 grau com 
  uma incgnita :::::::::::: 578
Equaes do 1 grau e 
  resoluo de problemas ::: 585
2 -- Equaes 
  fracionrias ::::::::::::: 598
3 -- Equaes literais: 
  resoluo :::::::::::::::: 611
4 -- Inequaes do 
  1 grau com uma 
  incgnita :::::::::::::::: 620
5 -- Princpios das 
  desigualdades :::::::::::: 626
6 -- Inequaes do 
  1 grau: resoluo :::::: 636
Soluo de uma 
  inequao :::::::::::::::: 636
Inequaes equivalentes ::: 640
Resoluo de inequaes ::: 644
Leitura + (mais) :::::::: 667
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 668

<194>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+575>
 Unidade 7  

 Equaes e inequaes

<R+>
_`[{foto de uma placa em uma estrada indicando: "80 km/h. Radar permanente"_`]
<R->

  As placas nas avenidas e estradas que indicam a velocidade mxima, como 80 km/h, por exemplo, alertam os motoristas de que eles s podem se deslocar com velocidade menor ou igual a 80 km/h.
  As velocidades permitidas em quilmetros por hora, nesse caso, podem ser expressas pela desigualdade: 0v=80.

<195>
<R+>
_`[{trs alunos conversam; contedo a seguir_`]
 O 1 menino diz: "A metade de um nmero mais o seu triplo  70."
 O 2 menino diz: "De que nmero estou falando?"
<P>
 A menina diz: "Deixa que eu adivinho!!!"
 O 2 menino pensa: "Ser 30? Metade  15, o triplo  90. J passou de 70..."
 A menina diz: "...  menos que 30!"

_`[{figura adaptada_`]
 Uma balana em equilbrio: no prato da esquerda h um peso de 5 kg e um peso de 2 kg; no prato da direita h um peso de 3 kg e 5 tijolos. 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "A balana est em equilbrio e os tijolos tm massas iguais. Qual  o peso de cada tijolo?"

_`[{o menino pensa_`]
  "Tenho que retirar o peso de 3 kg e deixar somente os tijolos..."

  Representando a massa de um tijolo por *x*, a equao 5x+3=7 
<P>
 relaciona os dados do problema anterior.
  Resolvendo a equao descobre-se que cada tijolo pesa 0,8 kg, ou seja, 800 g.
  Em algumas situaes  possvel adivinhar a soluo de um problema fazendo algumas tentativas, mas h processos que envolvem uma equao com os dados do problema e que nos levam  resposta.
  Igualdades e desigualdades entre expresses algbricas so utilizadas em situaes como as que voc v nestas pginas. Como escrev-las, analis-las e resolv-las  o que estudaremos nesta unidade.
<R+>
  Voc conhece outras formas de resolver um problema? Ento, converse com os colegas sobre isso.
  Se *y* representa um nmero inteiro negativo e yo-3, quais so os valores possveis para *y*?
<R->

<196>
<P>
 1 -- Equaes do 1 grau e 
  problemas

  Podemos encontrar a soluo de problemas em Matemtica de vrias formas. Usar a aritmtica  uma delas. Podemos, tambm, fazer algumas estimativas e tentativas, ou seja, escolher um nmero ao acaso e verificar se ele  ou no soluo.
  Alm disso, podemos escrever uma equao que relacione os dados do problema e resolv-la, ou seja, podemos equacionar o problema.

 Equaes do 1 grau com uma 
  incgnita

  Observe esta cena e procure resolver o problema proposto.
  Nesta figura temos uma balana que est em equilbrio.
  As caixas que esto nos pratos tm massas iguais.
<P>
<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Uma balana em equilbrio: no prato da esquerda h 4 caixas iguais e dois pesos de 2 kg cada um; no prato da direita h 2 caixas iguais, um peso de 5 kg, um peso de 3 kg e um peso de 1 kg. 
<R->

_`[{a menina pensa_`]
  "Retiro 4 kg de cada prato. Retiro 2 caixas de cada prato..."

<R+>
 wr
  Qual  o a massa de cada caixa?
<R->

  Vamos equacionar o problema e resolver a equao aplicando os princpios de equivalncias que j estudamos:

_`[{o professor diz_`]
  "4x+4=2x+9  uma equao do 1 grau com incgnita *x*."

<R+>
 x -- massa de uma caixa
 4x+4=2x+9
 Isolamos *x* no 1 membro.
 4x-2x=9-4
 2x=5
 x=#?b 
 x=2,5
<R->

  Cada caixa tem massa de 2,5 kg.
  Na equao observamos que: 4x+
 +4=2x+9
<R+>
  4x+4 --  o 1 membro e  uma expresso algbrica inteira.
  2x+9 --  o 2 membro e  uma expresso algbrica inteira.
  x=2,5 --  a raiz ou soluo da equao.

<197>
 wr
  Resolva esta equao em _r:
<R->

<R+>
 -3.`(2-4x`)+6=2x-5.`(2+x`)
 Resolver em _r significa que *x* deve ser um nmero real.
<R->
<P>
  Resolvemos a equao -3.`(2-4x`)+6=2x-5.`(2+x`) eliminando os parnteses e isolando *x* em um dos membros da equao:

 -3.`(2-4x`)+6=2x-5.`(2+x`)
 -6+12x+6=2x-10-5x
 12x-2x=5x=-10 
 15x=-10 
 x=-#,ae
 x=-#;c 

  Verificao:

<R+>
 -3.`[2-4.`(-#;c`)`]+6=2.`(-#;c`)-
  -5`[2+`(-#;c`)`]
 -3.`(2+#"c`)+6=-#c-10-5.`(-#;c`)
 -6-3.#"c+6=-#c-10+#,c
 -6-8+6=?-4-30+10*~3
 -8=-#;c
 -8=-8
<R->

  Como -#;c  um nmero real, -#;c  a raiz da equao -3.`(2-4x`)+6=2x-5.`(2+x`).
<P>
<R+>
 wr
  Na equao ?3x-8*~4-?x-
  -4*~6=-?5-2x*~2, a letra *x* poder representar um nmero inteiro?
<R->

 Esta equao tem denominadores.

  Primeiro eliminamos os denominadores da equao:

 m.m.c.`(2, #d, #f`)=12

 12.?3.`(3x-8`)-2.`(x-4`)*~12=
  =-?6.`(5-2x`)*~12.12
 3.`(3x-8`)-2.`(x-4`)=-6.`(5-2x`)
 9x-24-2x+8=-30+12x
 9x-2x-12x=-30+24-8
 -5x=-14
 x=#,e

  Nessa equao, *x* no poder representar um nmero inteiro.

<R+>
 wr
  A letra *y* representa um nmero racional que  a raiz da equao `(y+2`)`(y-4`)+
  +`(y-3`)`(y+1`)=2y2+2y+7. Determine esse nmero.
<R->

<198>
  Multiplicamos os binmios e escrevemos a equao em uma forma reduzida.

 `(y+2`)`(y-4`)+`(y-3`)`(y+1`)=2y2+
  +2y+7
 y2-4y+2y-8+y2+y-3y-3=
  =2y2+2y+7
 y2-2y-8+y2-2y-3=2y2+
  +2y+7
 2y2-4y-11=2y2+2y+7
 -11-7=2y2+2y-2y2+4y
 -18=6y ou 6y=-18 
 y=-#,"f 
 y=-3

  Como -3  um nmero racional, -3  a raiz da equao dada.

_`[{o professor diz_`]
  "Parecia ser uma equao em x2, mas  uma equao do 1 grau!"

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Em cada item verifique se o valor da incgnita  raiz da equao:
 a) 7x-15=x-3x-15 e x=0.
 b) -2.`(x-5`)+3x=-7x-`(2-4x`) e x=-3
 c) ?x-3*~4-2=-?1-x*~8 e x=-1.

 2. Resolva estas equaes no conjunto _z:
 a) -3x~4+x~3=-#?f
 b) x+2.`(15-3x`)=-10
 c) 7x-13=9-5x

 3. Determine a raiz das equaes a seguir, em que *x* representa um nmero real.
 a) 8x-4.`(6-5x`)=-49-`(5-3x`)
 b) 3x~5-#,b+x~4=x-#:d
<P>
 c) ?2-5x*~3-?x+3*~6=#=i
 d) ?1-3x*~10-1=
  =#:e-?2-x*~2
<R->

 Equaes do 1 grau e resoluo 
  de problemas

  Mariana e Joo passeiam juntos

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Na vitrine de uma loja h vrios brinquedos e no patinete est uma placa "R$138,00". 
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Se eu juntar R$30,00 ao que tenho e  dobrar essa quantia"

_`[{o menino diz_`]
  "... voc ter a quantia que custa o patinete!"
<P>
<R+>
 wr
  Qual  a quantia que Mariana tem?
<R->

<199>
  Podemos equacionar esse problema representando por *x* a quantia que Mariana tem:

<R+>
 Quantia de Mariana -- x
 Juntando R$30,00 -- x+30
 Dobro dessa quantia -- 2.`(x+30`)
 Equao -- 2.`(x+30`)=138
<R->

  Resolvemos a equao:

 2.`(x+30`)=138
 2x+60=138
 2x=138-60
 2x=78 
 x=#="b
 x=39 

  Verificao:
  Adicionando R$30,00 a R$39,00, obtemos R$69,00. O dobro dessa quantia  2.69, ou seja, R$138,00, que  o preo do patinete.
  Mariana tem R$39,00.
  Caio tem 24 notas em sua carteira.

<R+>
 wr
  Algumas so de R$50,00 e outras, de R$5,00. Se Caio tem R$525,00, quantas notas de R$50,00 e de R$5,00 ele tem?
<R->

  Ao lermos o problema novamente, destacamos as informaes que podero nos ajudar a encontrar a resposta.

 Informao -- o total de notas 
   24

_`[{o professor diz_`]
  "*x*  um nmero inteiro positivo."
 
  O que queremos determinar?
<R+>
  o nmero de notas de R$50,00 -- x
<P>
  o nmero de notas de R$5,00 -- 24-x
<R->
 
  Equacionamos o problema:

_`[{o professor diz_`]
  "Pensamos no nmero de notas de cada tipo e na quantia em dinheiro."

<R+>
 Valor da nota: R$50,00 e R$5,00
 Nmero de notas: x e `(24-x`)
 Quantia `(R$`): 50.x e 5.`(24-x`)
<R->
 
  A quantia em notas de R$50,00 mais a quantia em notas de R$5,00 correspondem a R$525,00.

 50.x+5.`(24-x`)=525
 Equao: 50x+5`(24-x`)=525

  Resolvemos a equao:

<R+>
 50x+5.24-5x=525 -- 50x+120-5x=525
<P>
 50x-5x=525-120 -- 45x=405 -- 45x~45=405~45 -- x=9
<R->

<200>
  Como 9  um nmero positivo, ele  a quantidade de notas de R$50,00.
  Calculamos a quantidade de notas de R$5,00 substituindo *x* por 9 na expresso `(24-x`):
  
<R+>
 Nmero de notas de R$5,00=24-x -- 24-9=15
<R->

  Verificao:
  Vamos verificar se os nmeros de notas encontrados satisfazem as condies do problema:

<R+>
 Total `(R$`)
 9 notas de R$50,00 -- Total 450
 15 notas de R$5,00 -- Total 75 
 Total: 525
<R->
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "E 9+15 so 24 notas."

  Caio tem 9 notas de R$50,00 e 15 notas de R$5,00.
  Esse problema foi resolvido usando a equao do 1 grau 50x+5`(24-x`)=525.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 4. Vera e Joana tomaram lanche juntas. A despesa ficou em R$28,00. Como Vera comeu mais que Joana, pagou R$13,00 a mais que ela. Quanto pagou cada uma?
 5. Se Pedro tiver o triplo da quantia que possui, poder comprar o tnis da promoo e ainda ficar com R$10,00. Qual  a quantia que ele tem?

_`[{cartaz: "Promoo! R$68,60_`]

 6. Em uma cidade, a bandeirada de uma corrida de txi custa R$3,40 e um percurso de 16 km sai por R$32,20. Qual  o preo do quilmetro rodado em um txi dessa cidade?
 7. Paulo pagou R$930,00 por uma coleo de 30 carrinhos. Alguns deles custaram R$40,00 e outros, R$25,00. Quantos carrinhos de cada preo havia nessa coleo?
 8. O 8 ano resolveu arrecadar dinheiro para uma excurso. Se cada aluno pagar R$14,00, faltaro R$32,00 para cobrir as despesas, mas, se cada um der R$2,00 a mais, sobraro R$32,00. Quantos alunos iro  excurso?
 9. Arlete foi ao aougue e comprou 3 kg de contrafil #,b kg de patinho. Deu R$50,00 e recebeu R$18,00 de troco. Qual foi o preo de 1 kg de patinho?
<P>
_`[{figura adaptada_`]
 Placa do aougue -- "Oferta da semana:
 contrafil -- R$9,20
 patinho -- ...
 msculo -- ..."

 10. Qual  a soluo desta equao?

 z2-25=`(z+3`)2-28

 11. Se `(y+3`)`(y-6`)+`(y-4`)`(y+
  +2`)=2y2+11y+14, qual  o valor da expresso `(y3+#?h`)?
<R->

<201>
 Troque ideias e resolva

  Suponha que *x* represente o nmero de eleitores de Morro Branco.
<R+>
  O que significa, em percentual, a frase Em Morro Branco, 0,15.x representa o eleitorado feminino?
  Nesse caso, que expresso representaria o eleitorado masculino?
<R->
<P>
 Problema resolvido

<R+>
 12. Vinte e cinco por cento das pessoas que trabalham em uma fbrica so mulheres. H 48 homens a mais do que mulheres. Quantas pessoas trabalham nessa fbrica?

 Mulheres -- 25% do total
 Homens -- `(100%-25%`)=75% do total

 Resoluo:
 100%  a porcentagem correspondente ao total de pessoas que trabalham na fbrica.
 Equacionamos o problema:
 x -- total de pessoas
 25% de x=0,25.x -- nmero de mulheres
 75% de x=0,75.x -- nmero de homens
<P>
 O nmero de homens  igual ao nmero de mulheres mais 48.

 0,75.x=0,25.x+48
 0,75.x-0,25.x=48
 0,5.x=48
 x=48~0,5  
 x=96

 Resposta: Nessa fbrica trabalham 96 pessoas.

<202>
 13. Em uma prova de Matemtica, 15% dos alunos de uma classe no resolveram a ltima questo, 45% resolveram com alguns erros e os 16 alunos restantes acertaram a questo. Quantos alunos havia na classe?

 14. Se Luciana tivesse 20% a mais do que tem, poderia comprar um vestido. Mas, se ela tivesse o dobro da quantia que tem, poderia comprar o mesmo vestido e ainda sobrariam R$48,00.
<P>
 a) Quanto ela tem?
 b) Qual  o preo do vestido?
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 15. Resolva as equaes a seguir, nas quais *x* representa um nmero real:
 a) 1-3`(4x+7`)=2`(x-10`)
 b) 3`(-1-5x`)-`(-7x+6`)=
  =-4`(x-3`)
 c) ?x-3*~4-?x+1*~6=-2
 d) -?3x+1*~5+?5-6x*~4=3

 16. Mariana tem 7 anos de idade e sua tia, 41 anos. Daqui a quantos anos a idade de Mariana ser um tero da idade de sua tia?
 17. Gastando R$21,00 por dia, Lucas gastou uma determinada quantia. Gastando R$15,00 por dia, Pedro gastou a mesma quantia que Lucas, mas levou 8 dias a mais que ele. Que quantia era essa?
 18. Uma mercadoria produzida em uma fbrica teve um aumento de 20% em seu custo de produo. Cada mercadoria teve, tambm, um acrscimo fixo de R$9,00 a ttulo de fundo de reserva. Tudo isso significou um custo atual com aumento de 40% sobre o preo de custo de produo anterior. Qual  o custo atual dessa mercadoria para a fbrica?

 19. Resolva estas equaes em _r:
 a) `(3x-1`).`(3x+1`)-2.`(2x-
  -7`)=x.`(9x-7`)
 b) -3.`(4x-1`)-`(2x-5`)2=-4.
  .`(x+3`)`(x-3`)-44
 c) `(x-1`)2~3-5~2=?x.`(2x-
  -7`)*~6-#=c

 20. Nesta figura, :,?{o{a*, :,?{o{b* e :,?{o{c* esto em um
<P>
  mesmo plano e med :?{a{o{b*=143. A letra *x* representa uma medida em graus.

<F->
^                ^ 
 Ag            gC
    ^  3x   ^
      ^    ^
        ^^2x+8
         o:::::::o:::::
         O       B       
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Quanto mede o ngulo {a{o{c?
 c) Quanto mede o ngulo {b{o{c?

 21. No tringulo {a{b{c, a letra *a* representa uma medida em graus. Quais so as medidas dos ngulos desse tringulo?
<R->
<P>
<F->
       A
       *^       
      *   ^  
     *      ^ 
    * 3a~2^  
   *            ^
  *               ^
 *4a              ^
---------------------o
B                   C
<F+>

_`[{o professor diz_`]
  "Med :{c  10 a mais que o dobro de med :A? 

               ::::::::::::::::::::::::

<203>
 2 -- Equaes fracionrias

  Ao equacionar um problema, algumas vezes a equao obtida tem como termos fraes algbricas.
  Veja um exemplo disso no problema proposto a seguir.
  Duas torneiras diferentes, T e Q, despejam gua em um mesmo tanque.
<P>
  A torneira T enche o tanque em 3 horas e as duas juntas fazem isso em 2 horas.

<R+>
 wr
  Quanto tempo a torneira Q levaria para encher o tanque, supondo que sua vazo seja constante?
<R->

  Para equacionar o problema, vamos construir uma tabela com dados que mostrem o que ocorre por hora.

_`[{a professora diz_`]
  "T enche o tanque em 3 horas. Q enche o tanque em *x* horas."
<P>
_`[{tabela adaptada_`]
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l tempo _ torneira  _ torneira  _
l       _  T       _ Q        _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l 1    _ #,c do    _ 1~x do  _
l hora  _ tanque    _ tanque    _
r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l 2    _ #;c do    _ 2~x  do _
l hora  _ tanque    _  tanque   _
h:::::::j:::::::::::j:::::::::::j
<F+>

  O tanque  o inteiro, ou seja, 1, e ficar cheio em 2 horas se as torneiras estiverem abertas ao mesmo tempo.
  A soluo do problema  a raiz da equao ao lado: #;c+2~x=1

 T -- #;c 
 Q -- 2~x
 tanque -- 1
 
  Nessa equao, o termo 2~x  uma frao algbrica. Dizemos, por isso, que se trata de uma equao fracionria. Como *x* aparece no denominador de 2~x, esse denominador deve ser diferente de zero.
  Alm disso, *x* representa o tempo e, por essa razo, deve ser positivo e diferente de zero. A soluo do problema deve estar no conjunto dos nmeros reais positivos.
  Vamos resolver essa equao:

_`[{a menina diz_`]
  "O m.m.c. dos denominadores  3x."

 #;c+2~x=1
 ?x.2+3.2*~3x=?3x.1*~3x
 3x.?2x+6*~3x=3x~3x.3x
 2x+6=3x
 6=3x-2x
 6=x ou x=6

  Como 6=0, 6  a raiz da equao #;c+2~x=1.
  A torneira Q levaria 6 horas para encher o tanque sozinha.

<204>
<P>
  Veja outros exemplos de equaes fracionrias:

<R+>
 5~?x+2*=3-x
 1~?x-1*+3x=1~x
 2~?x-5*-4~?x+5*=-3

 wr
  Que valores no podem ser atribudos a *x* na equao a seguir?

 3x~?x-5*-5~x=3

  Qual  o m.m.c. dos denominadores dessa equao?
  Qual  a raiz dessa equao?
<R->

  Vamos determinar os valores que no podem ser atribudos a *x*. Esses valores so aqueles que anulam os denominadores `(x-5`) e *x*:

<R+>
 x-5=0
 x=5
 x=0
 Devemos ter x=5 e x=0.
<R->
<P>
  Primeiro eliminamos os denominadores e, em seguida, resolvemos a equao obtida:

<R+>
 m.m.c. dos denominadores: x-5 e x=x.`(x-5`)
<R->
 3x~?x-5*-5~x=3
 ?3x.x*~?x.`(x-5`)*-?5.`(x-
  -5`)*~?x.`(x-5`)*=?3.x.`(x-
  -5`)*~?x.`(x-5`)*
 3x2-5.`(x-5`)=3x.`(x-5`)
 3x2-5x+25=3x2-15x
 3x2-5x-3x2+15x=-25
 10x=-25
 x=-#;?aj
 x=-#?b

  Como -#?b  diferente de zero e de 5, ele  a raiz da equao proposta.
  Observe a equao a seguir.

 5x~?x+1*-1~?x-1*=?5x2+
  +5*~?x2-1*
<P>
<R+>
 wr
  Que tipo de equao  essa?
  Nessa equao, *x* deve ser diferente de quais nmeros reais?
  Qual  a raiz dessa equao?
<R->

<205>
  Vamos determinar os valores de *x* que anulam os denominadores das fraes:

 x+1=0 -- x=-1
 x-1=0 -- x=1 
 x2-1=0 -- `(x+1`).`(x-1`)=0 
 x+1=0 -- x=-1
 ou 
 x-1=0 -- x=1

  Devemos ter x=-1 e x=1.
  Resolvemos a equao reduzindo seus termos ao menor denominador comum e eliminando-o:

<R+>
 O m.m.c. dos denominadores  `(x+1`).`(x-1`).
<R->
 5x~?x+1*-1~?x-1*=?5x2+
  +5*~?`(x+1`).`(x-1`)*
<P>
 ?`(x-1`).5x-`(x+1`).1*~?`(x+
  +1`).`(x-1`)*=?1.`(5x2+
  +5`)*~?`(x+1`).`(x-1`)*
 5x.`(x-1`)-1.`(x+1`)=1.`(5x2+
  +5`)
 5x2-5x-x-1=5x2+5
 -1-5=5x2-5x2+5x+x
 -6=6x
 x=-1

  Como *x* deve ser diferente de -1, a equao proposta no tem soluo.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 22. Que valores de *x* anulam os denominadores da equao 9~x-1~?x+8*=1?
 23. Determine os nmeros reais que no podem ser razes desta equao fracionria:
<P>
 ?14y-36*~?18y+72*=?23y-
  -17*~?64y-16*

 Problema resolvido

 24. O denominador de uma frao excede o numerador em 5 unidades. Adicionando 3 unidades aos dois termos da frao, obtemos uma frao igual a #,b. Que frao  essa? Vamos representar o numerador da frao pela letra *y*.

 ?y+3*~?y+5+3*=#,b
 ?y+3*~y+8=#,b
 y=-8 anula o denominador.
 y+5 --  o denominador
 y~?y+5* --  a frao

 Por ser uma proporo, podemos aplicar a propriedade fundamental das propores:

 2.`(y+3`)=`(y+8`).1
 2y+6=y+8
 2y-y=8-6
 y=2
<P>
 Substituindo *y* por 2 na frao y~?y+5*, temos:

 y~?y+5*=2~?2+5*=#;g

 Resposta: A frao  #;g.

<206>
 25. Determine a soluo de cada uma das equaes fracionrias:
 a) 4~x-16~5x=#"c
 b) ?y-34*~6y+9=?6y+7*~y
 c) ?5z-21*~18z2=5~9z-
  -11~6z
 d) ?12x+7*~15x=-#:d
 e) ?9y+6*~?15y-12*=#;g
 f) 15~?9t+3*=8~?3t-5*

 26. Um tanque possui duas torneiras. A primeira pode ench-lo em 15 minutos e as duas juntas podem fazer isso em 10 minutos. Em quanto tempo a segunda torneira levar para encher o tanque, supondo que sua vazo permanea constante?
<P>
 27. O denominador de uma frao excede o numerador em 4 unidades. Acrescentando 8 unidades ao numerador e 17 unidades ao denominador, obtemos uma frao equivalente a #,b. Determine a frao inicial.
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 28. Quanto mede cada ngulo desta figura?

 *x* medida em graus.

<F->
   ^
     ^   
       ^
2x~3  ^   x+65
  :::::::::o:::::::::
<F+>

 29. Considere a equao 9~x-1~?x+8*=10~x.
 a) Determine os nmeros que anulam os denominadores.
 b) Qual  a soluo dessa equao?

 30. O denominador de uma frao  obtido subtraindo-se 3 do dobro do numerador. Essa frao, acrescida de 8 unidades,  igual a #!g. Qual  essa frao?
 31. Determine a soluo da equao 4~?x-2*+#;c=3~?x-2*.

 Problema resolvido
 
 32. Qual  a soluo da equao x~?x-8*-#?c=?5x-16*~?3x-
  -24*?

 Inicialmente, vamos determinar os nmeros que anulam os denominadores.

 x-8=0 -- x=8
 3x-24=0 -- 3x=24 -- x=8
 *x* deve ser diferente de 8.
<P>
 Resolvemos a equao calculando o m.m.c. dos denominadores x-8, 3 e 3x-24, que  igual a 3`(x-8`).

 x~?x-8*-#?c=?5x-16*~?3x-24*
 x~?x-8*-#?c=?5x-16*~?3`(x-
  -8`)*
 ?3.x-`(x-8`).5*~?3`(x-8`)*=
  =?1.`(5x-16`)*~?3`(x-8`)*
 3x-5.`(x-8`)=5x-16
 3x-5x+40=5x-16
 3x-5x-5x=-16-40
 -7x=-56
 x=8

 Como *x* deve ser diferente de 8, ento x=8 no pode ser soluo da equao dada.

 Resposta: A equao no tem soluo.

 33. Verifique quais equaes a seguir no tm soluo.
 a) t~?t-3*-?2t+1*~?t-4*+
  +t2~?t2-7t+12*=0
<P>
 b) 2~?x-3*-4x~?x2-9*=
  =7~?x+3*

 34. Para que valor de *y* a igualdade 10~?3y-6*+
  +15~?2y-4*=#,:f  verdadeira?
 35. Qual  o valor de *x* na equao?

 8~?x-5*-6x~?x2-25*=
  =-3~?x+5*

 36. Que nmero  soluo da equao?

 21y~?4y-1*-8y~?4y+1*=
  =?52y2-58*~?16y2-1*
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<207>
 3 -- Equaes literais: 
  resoluo

  Em algumas situaes temos equaes com outras letras alm daquela que representa a incgnita. Essas letras costumam representar um nmero real que  uma constante na situao-problema, ou seja, um valor que no muda. Observe as equaes a seguir, nas quais a incgnita  representada por *x*:

 2ax=10 
 5-3bx=-4a 
 x~2-abx=3a

 *a* e *b* so constantes.

  Na equao 2ax=10, por exemplo, ao atribuir valores a *a*, obtemos equaes diferentes.

 a=1 
 2.1.x=10 
 2x=10

 a=-3 
 2.`(-3`).x=10 
 -6x=10
<P>
 a=#?c 
 2.#?c.x=10
 10~3x=10

 a=0
 2.0.x=10
 0=10

  Observe que para a=0 obtemos uma sentena falsa.
  Chamamos equaes desse tipo de equaes literais.
  Vamos aprender a analisar e a resolver equaes como essas.

<R+>
 wr
  Qual  a forma geral da raiz da equao 2ax=10?
  Qual  a raiz da equao 2ax=10 quando a=1? E quando a=-3?
<R->

 Incgnita *x*

  Em uma equao literal, uma vez definida a incgnita, sua resoluo segue o mesmo procedimento que o das demais equaes, considerando as outras letras como nmeros conhecidos.
  Veja, por exemplo, a resoluo da equao 2ax=10 na incgnita *x*:

 Isolamos *x* no 1 membro.

 2ax=10
 x=10~2a
 x=5~a, com a=0.

  Para a=1, a soluo  x=#?a=5. 
  E, para a=-3, a soluo  x=-#?c.
<208>
  Nesta equao, *x* representa a incgnita.

 5a+8x=0

 wr
  Qual  a raiz dessa equao?

  Se *x*  a incgnita da equao, isolamos *x* em um dos mem-
<P>
 bros da equao escrevendo-o em funo de *a*:

 5a+8x=0 
 8x=-5a 
 x=-5a~8
 
 -5a~8  a raiz da equao da-
  da.

  Dizer que x=-5a~8  o mesmo que dizer que, para cada valor de *a*, o valor de *x* ser -5.a~8" na equao 5a+8x=0.
  Isso significa que a raiz dessa equao depende do valor de *a*.

_`[{a menina diz_`]
  "Observe o valor da raiz para alguns valores de *a*."

 para a=-1 
 x=-5.`(-1`)~8=#?h
<P>
 para a=16 
 x=-5.16~8=-10 

 para a=0 
 x=-5.0~8=0 

<R+>
 wr
  Se *x*  a incgnita, qual  a raiz da equao a seguir?
<R->

 3ax-b=2`(ax+3b`)-b

  Como *x*  a incgnita, seu valor depende dos valores de *a* e *b*.

_`[{a professora diz_`]
  "Isolamos *x* em funo de *a* e *b*."

<R+>
 3ax-b=2`(ax+3b`)-b
 3ax-b=2ax+6b-b
 3ax-2ax=6b-b+b
 ax=6b 
 x=6b~a -- Essa raiz existe para *a* diferente de zero.
<R->
<P>
  A raiz dessa equao  6b~a, para a=0.

<209>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 37. Qual ser a raiz da equao 3ax-b=2`(ax+3b`)-b se *a* for a incgnita? Nesse caso, que valor no pode ser atribudo a *x*?
 38. A equao 5a+8x=0 tem raiz para qualquer valor de *a*?

 39. Resolva estas equaes literais, em que *x*  a incgnita:
 a) 13x-24a=15a
 b) 16x+2b=-18x+19b
 c) 2px-3`(x-p`)=px
 d) 2`(x-a`)-3`(x+2a`)=b

 40. Nas equaes a seguir, a incgnita  *y*? Qual  a soluo de cada uma?
<P>
 a) ?y+m*~5+m=?3m-y*~2
 b) ?4y+18a*~16+
  +?2ay-1*~8-y~4=0
<R->

 Troque ideias e resolva

  Neste quadro temos um polgono e uma frmula.

<F->
 -.
 l e.
 l   e.
 l     e.
hl       e. a=?b.h*~2
 l         e. 
 l           e.
 l             e.
 v---------------o
        b 
<F+>

<R+>
  Que polgono  esse? Que frmula  essa?
  Partindo dessa frmula, obtenha outra para a altura, representada por *h*, em funo de *a* e *b*.
<P>
  Um tringulo tem um lado que mede 4 cm e uma rea de 19 cm2. Qual  a medida da altura relativa a esse lado?
<R->

 Seo + (mais)

 Corrida de txi

  De modo geral, uma corrida de txi custa o preo da bandeirada mais o preo do quilmetro rodado. Faa uma pesquisa em sua cidade sobre o assunto e responda:
<R+>
  Qual  o preo da bandeirada de uma corrida de txi?
  Qual  o preo do quilmetro rodado?
  Quanto pagar uma pessoa que fizer um percurso de 12 km em um txi em sua cidade?
  Escreva em seu caderno uma frmula para o preo a ser pago por uma corrida qualquer em sua cidade.
<P>
  Escreva em seu caderno uma frmula para o preo a ser pago por uma corrida qualquer em uma cidade onde a bandeirada custe R$3,20 e o quilmetro rodado, R$2,80.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<210>
 4 -- Inequaes do 1 grau com 
  uma incgnita

  Quando uma situao de comparao entre grandezas resulta em quantidades diferentes, ela pode ser expressa por uma desigualdade.

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Uma menina com altura de 1,62 m e um menino com altura de 1,50 m.

 A altura de Pedro  diferente da altura de Maria -- 1,50=1,62
 A altura de Pedro  menor que a de Maria -- 1,501,62
 A altura de Maria  maior que a de Pedro -- 1,62o1,50
<R->

  Vamos estudar algumas sentenas que envolvem desigualdade entre expresses algbricas.
  Que festa de arromba na casa de Mariana!
  Muitas pessoas j estavam se divertindo quando chegaram mais 15. Com isso, o nmero de pessoas passou a ser maior que o dobro do nmero inicial.

<R+>
 wr
  Represente essa situao usando uma desigualdade.
<R->

  A situao apresentada pode ser expressa em Matemtica por uma desigualdade.
  Representamos o nmero de pessoas que estavam na festa por *y*.
  Nmero inicial de pessoas acrescido de 15  maior que o dobro do nmero inicial de pessoas.

 y+15o2.y

  y+15o2y representa essa situao e  uma inequao do 1 grau com uma incgnita.
  Assim como as equaes, as inequaes tm dois membros.

 y+15o2y
 y+15 -- 1 membro
 2y -- 2 membro

  Para essa situao, podemos tambm escrever a inequao:

<R+>
 2yy+15
 O dobro do nmero inicial de pessoas  menor que esse nmero acrescido de 15 pessoas.
<R->

<211>
  Os tijolos que esto na balana tm massas iguais e ela est desequilibrada.

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Uma balana desequilibrada: no prato da esquerda, que est mais alto, h 3 tijolos e um peso de 5 kg; no prato da direita, que est mais baixo, h um peso de 3 kg, um peso de 10 kg e um tijolo.

 Use *x* para representar a massa de um tijolo.

 wr
  Represente essa situao em seu caderno usando uma expresso com letras, nmeros e operaes.
<R->

  Representamos a massa de um tijolo pela letra *x*:

<R+>
 5+3x -- massa que est em um dos pratos.
 13+x -- massa que est no outro prato.
 5+3x13+x ou 13+xo5+3x
 5+3x13+x ou 13+xo5+3x so inequaes do 1 grau com uma incgnita.
<R->

  Observe outros exemplos:

<R+>
 ?x+3*~52`(x-1`) -- Inequao do 1 grau com uma incgnita.
 2x+yo=3x-1 -- Inequao do 1 grau com duas incgnitas.
 x2-4o2x -- Inequao do 2 grau com uma incgnita.

 Uma inequao  expressa por uma desigualdade entre expresses algbricas que envolvem operaes com nmeros e nmeros representados por letras.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 41. Dona Antnia e seu Felipe tm 4 filhas. Ana  mais nova que Clia, Berenice  mais velha que Denise e Clia  mais nova que Denise. Quem  a caula da famlia?

 42. Identifique as inequaes do 1 grau com uma incgnita.
 a) 9-12x17
 b) y8~3y+21
<P>
 c) t2-1o2
 d) 2m2+1m
 e) 9x-y43
 f) 7z+3=12z

 43. Algumas das inequaes a seguir poderiam traduzir a situao: o qudruplo do aluguel de um apartamento acrescido de R$50,00  mais que R$900,00. Identifique-as.
 a) 4xo900 
 b) 4x+50900 
 c) 4x+50o900
 d) 9004x+50

 44. A quantidade de ovos de uma cesta de dona Maria  representada pela letra *n*. Se forem acrescentados 18 ovos a essa cesta, ela ainda ter menos que 4 dzias. Escreva uma inequao para representar essa situao.
<P>
 45. Traduza as situaes a seguir utilizando uma inequao.
 a) A tera parte de um nmero subtrada de 10  maior que esse nmero.
 b) Rodolfo quer comprar uma cala que custa R$42,00. Trs quartos de seu salrio  menor que o preo dessa cala.

 46. Escreva uma situao que possa ser traduzida pelas inequaes:
 a) 5x10
 b) 4x+2o18
 c) x~6-1527
<R->
 
               ::::::::::::::::::::::::

<212>
 5 -- Princpios das 
  desigualdades

  Uma desigualdade tem algumas propriedades. Dentre elas destacaremos aquelas que auxiliam na resoluo de uma inequao. Vamos combinar que iniciaremos sempre com desigualdades verdadeiras.
  Esta balana est em desequilbrio.
  Traduzimos essa situao utilizando uma desigualdade: 48.

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Uma balana em desequilbrio; no prato da esquerda, que est mais alto, h dois pesos de 2 kg cada um; no prato da direita, que est mais baixo, h um peso de 5 kg e um peso de 3 kg.    

 wr
  O que ocorrer com a desigualdade se acrescentarmos 3 kg em cada prato?
<R->

  Vamos localizar os nmeros 4 e 8 em uma reta numerada, que chamaremos de *r* no desenho a seguir _`[no adaptado_`].

 reta *r*: 48
 reta *s*: 4+38+3
 reta *t*: 4-38-3
<P>
  Na reta numerada *s* _`[no adaptada_`], observamos a posio dos novos nmeros quando adicionamos o nmero 3 aos dois membros da desigualdade 48 e, na reta numerada *t*, o que acontece quando subtramos o nmero 3.

<R+>
 Adicionando um nmero

 48
 Adicionando 3 a cada membro.
 4+38+3
 711
 Se 48, ento 4+38+3.

 Subtraindo um nmero

 48
 Subtraindo 3 de cada membro.
 4-38-3
 15
 Se 48, ento 4-38-3.
<R->

<213>
<P>
 Princpio aditivo das 
  desigualdades:

<R+>
 Quando adicionamos ou subtramos um mesmo nmero dos dois membros de uma desigualdade verdadeira, obtemos outra desigualdade, tambm verdadeira.
<R->

  Pense neste problema:

_`[{o professor diz_`]
  "O que acontecer se voc multiplicar ou dividir os dois membros desta desigualdade por um mesmo nmero diferente de zero? 4o-2"

_`[{a menina pensa_`]
  "Ser que depende do nmero?"

<R+>
 wr
  Responda  pergunta do professor.
<R->
<P>
  Localizamos os nmeros -2 e 4 em uma reta numerada *r* no desenho a seguir _`[no adaptado_`].

 reta *r*: 4o-2
 reta *s*: 4.2o`(-2`).2
 reta *t*: 42o`(-2`)2

  Na reta numerada *s* _`[no adaptada_`], observamos a posio dos novos nmeros quando multiplicamos por 2 os dois membros da desigualdade 4o-2 e, na reta numerada *t* _`[no adaptada_`], observamos o que acontece quando dividimos por 2.

<214>
<R+>
 Multiplicando por nmero positivo

 4o-2
 Multiplicando cada membro por 2.
 4.2o`(-2`).2
 8o-4
 Se 4o-2, ento 4.2o`(-2`).2.
<P>
 Dividindo por um nmero positivo
 4o-2
 Dividindo cada membro por 2.
 42o`(-2`)2
 2o-1
 Se 4o-2, ento 42o`(-2`)2.
<R->

  As desigualdades obtidas mantm o sentido inicial.
  O mesmo no acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros da desigualdade por um nmero negativo. Observe o que ocorre com a desigualdade 4o-2 quando multiplicamos ou dividimos os dois membros por -2, que  um nmero negativo.

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]

 reta *r*: 4o-2
 reta *s*: 4.`(-2`)`(-2`).`(-2`)
 reta *t*: 4`(-2`)`(-2`)`(-2`)
<R->

  As desigualdades obtidas tm sentido contrrio ao sentido inicial.

<R+>
 Multiplicando por nmero negativo

 4o-2
 Multiplicando cada membro por -2.
 4.`(-2`)`(-2`).`(-2`)
 -84
 Se 4o-2, ento 4.`(-2`)`(-2`).
  .`(-2`).

 Dividindo por um nmero negativo

 4o-2
 Dividindo cada membro por -2.
 4`(-2`)`(-2`)`(-2`)
 -21
 Se 4o-2, ento 4`(-2)`(-2`)
  `(-2`).
<R->

 Princpio multiplicativo das 
  desigualdades:

<R+>
 Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um mesmo nmero positivo, obtemos outra desigualdade, tambm verdadeira e de mesmo sentido.
<215>
 Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um mesmo nmero negativo, invertemos o sentido da desigualdade e obtemos uma outra desigualdade, tambm verdadeira.
<R->
 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 47. Adicionando -8 aos dois membros de -28, que nova desigualdade obtemos? Ela tem o mesmo sentido da desigualdade inicial?
 48. Subtraindo -10 dos dois membros de 513, que nova desigualdade obtemos? Ela tem o mesmo sentido da desigualdade inicial?
 49. Multiplicando por -#:d os dois membros de 0o-10, que nova desigualdade obtemos? Ela 
<P>
  tem o mesmo sentido da desigualdade inicial?
 50. Em cada situao a seguir foi aplicado um dos princpios das desigualdades:

 A: 12+4o9+3
 12+4-10o9+3-10

 B: 15-5o`(9+3`)6
 `(15-5`)`(-2`)`[`(9+3`)6`]
  `(-2`)

 a) Identifique o princpio das desigualdades aplicado nas situaes A e B.
 b) Efetue os clculos e verifique a validade dos princpios aplicados.
 c) Utilizando outros nmeros, aplique nas desigualdades A e B os mesmos princpios identificados no item *a*. Efetue os clculos e verifique a validade desses princpios.
<P>
 Troque ideias e resolva

  A desigualdade x+8-10  verdadeira para x-18 ou para xo-18?
  A desigualdade -4xo12  verdadeira para xo-3 ou para x-3?

 51. Observe estas retas numeradas _`[no adaptadas_`]:
 a) Compare *a* e *b* usando o smbolo *o*.
 b) Compare -a~7 e -b~7 usando o smbolo ** ou *o*.
 c) Como voc pode obter a desigualdade encontrada no item *b*, a partir da desigualdade encontrada no item *a*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 52. Se ab, que desigualdade obtemos ao subtrair -5 dos dois membros?
 53. Se cod, que desigualdade obtemos ao multiplicar os dois membros por -6?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<216>
 6 -- Inequaes do 1 grau:
  resoluo

  Assim como existem equaes equivalentes, existem tambm inequaes do 1 grau que so equivalentes. A partir de uma inequao, aplicando-se os princpios das desigualdades, obtm-se inequaes equivalentes  primeira.

 Soluo de uma inequao

  Joo est brincando na barraca Derrube a bola certa.
  Quando voc aciona um boto, uma das bolas numeradas de 1 a 6 cai em um prato.
  Esses nmeros representam as massas das bolas em quilogramas. Uma campainha toca e voc ganha um brinde quando a massa da bola adicionada  massa do prato ultrapassa 6 quilogramas.

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Em uma barraca h uma balana e seis bolas numeradas de 1 a 6 e cada uma de um tamanho. Na frente da balana h um painel com seis campainhas. Um cartaz mostra: "Derrube a bola certa e ganhe um brinde!". O dono da barraca diz: "A massa do prato  3 kg."

 wr
  Quais bolas faro a campainha tocar quando carem sobre o prato?
<R->

  Traduzimos a situao proposta em Matemtica, chamando de *x* a massa de qualquer uma das bolas. A campainha tocar quando:
<P> 
<R+>
 A massa da bola mais a massa do prato ultrapassarem 6 kg.
 x+3o6
<R->

  x+3o6  a inequao que traduz o problema.
  Na inequao x+3o6, *x* pode ser substitudo por qualquer um dos valores que representam as massas das bolas: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
  Alguns deles transformam a inequao em uma sentena verdadeira e outros, em uma sentena falsa.
  Vamos substituir *x* pelos nmeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 na inequao x+3o6.

<R+>
_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
 1 coluna: x
 2 coluna: x+3>6
 3 coluna: Sentena -- Falsa (F); Verdadeira (V)
 4 coluna: Campainha
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l 1 _ 1+3>6 _ F  _ no toca _
r::::w::::::::::w:::::w::::::::::w
l 2 _ 2+3>6 _ F  _ no toca _
r::::w::::::::::w:::::w::::::::::w
l 3 _ 3+3>6 _ F  _ no toca _
r::::w::::::::::w:::::w::::::::::w
l 4 _ 4+3>6 _ V  _ toca     _
r::::w::::::::::w:::::w::::::::::w
l 5 _ 5+3>6 _ V  _ toca     _
r::::w::::::::::w:::::w::::::::::w
l 6 _ 6+3>6 _ V  _ toca     _
h::::j::::::::::j:::::j::::::::::j
<F+>
<R->

_`[{o dono da barraca diz_`]
  "Com 4, 5 e 6 voc ganha um brinde."

  Os nmeros 4, 5 e 6 representam as massas das bolas que fazem a campainha tocar. Esses nmeros so as solues da inequao x+3o6.

<217>
<P>
 Inequaes equivalentes

<R+>
 wr
  Considere novamente a inequao x+3o6 do problema anterior, cujas solues so os nmeros 4, 5 e 6. Multiplique os dois membros dessa inequao por -5. Os nmeros 4, 5 e 6 so solues da inequao obtida?
<R->

  Multiplicando os dois membros da inequao x+3o6 por -5, obtemos outra inequao.

 -5.x+`(-5`).3-5.6
 -5x-15<-30

  Vamos verificar se os nmeros 4, 5 e 6 so solues de -5x-15-30:

 Para x=4:
 -5.4-15-30
 -20-15-30
 -35-30
 4  soluo.
<P>
 Para x=5:
 -5.5-15-30
 -25-15-30
 -40-30
 5  soluo.

 Para x=6:
 -5.6-15-30
 -30-15-30
 -45-30
 6  soluo.

  -5x-15-30 tem as mesmas solues que x+3o6 e por isso  uma inequao equivalente a x+3o6.
 
<R+>
 wr
  Escreva duas outras inequaes que sejam equivalentes a x+3o6, considerando a situao da barraca Derrube a bola certa.

 Duas inequaes so equivalentes quando tm as mesmas solues, considerando-se o mesmo conjunto de nmeros que podem ser atribudos  incgnita.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 54. Desenhe um esquema como este, siga as instrues dos quadros e complete-os at obter a inequao mais simples equivalente a 9x-45.

_`[{esquema adaptado_`]
 9x-45 :> adicione 4 aos 2 membros :> ... :> divida ambos os membros por 9 :> ... :> inequao equivalente mais simples.

 55. Observe a resposta que voc deu na atividade 54 e resolva as questes a seguir.
 a) O nmero 7  soluo da inequao 9x-45?
 b) Zero  soluo da inequao 9x-45?
<P>
 c) O nmero -10  soluo da inequao 9x-45?
 d) D trs solues para a inequao 9x-45, considerando _q+ como conjunto de nmeros que podem ser atribudos a *x*.

 Q+ -- conjunto dos nmeros racionais positivos e o zero.

<218>
 56. Determine quais dos pares de inequaes a seguir so equivalentes em _r:
 a) 2x+47 e 2x3
 b) 10xo10 e xo0
 c) 4y-6=3y+7 e 13o=y
 d) 5-x8 e xo-3
 e) x~3-#,fo6 e 36o2x-6
 f) y~2-1o2 e -y+2-4  

 57. Dona Antonieta  a professora de Matemtica de Carlos. Como ele  um garoto indiscreto, perguntou-lhe a idade. Dona Antonieta respondeu: O dobro da minha idade adicionado a 54 
<P>
   menor que o triplo dela mesma.
 a) Dona Antonieta tem menos que 50 anos?
 b) Quais seriam as possveis idades de Dona Antonieta?
<R->

 Resoluo de inequaes

  Resolver uma inequao do 1 grau com uma incgnita significa determinar suas solues. Fazemos isso aplicando os princpios das desigualdades, at encontrar a inequao mais simples equivalente  inicial que nos d as solues para ela. Vamos aprender a resolv-las.

<R+>
 wr
  Resolva a inequao 3x-4ox-8.

 *x* representa um nmero real.
<R->

  Utilizamos os princpios das desigualdades e encontramos uma 
<P>
 inequao equivalente mais simples:

_`[{a professora diz_`]
  "Adicionamos 4 a cada membro. Subtramos *x* de cada membro. Dividimos cada membro por 2."

 3x-4ox-8
 3x-4+4ox-8+4
 3xox-4
 3x-xox-4-x
 2xo-4
 2x~2o-#b
 xo-2

_`[{a professora diz_`]
  "As solues so nmeros reais maiores que -2."

  Os valores possveis para *x* so todos os nmeros reais maiores que -2.
  Na prtica, aplicamos os princpios das desigualdades nas inequaes, sem escrever todas as passagens.
<P>
_`[{a professora diz_`]
  "Escolhemos o 1 membro para isolar os termos com *x*."

 3x-4ox-8
 3x-xo-8+4
 2xo-4
 xo-#b
 xo-2
 
<219>
  Lembrando que *x* representa um nmero real, podemos apresentar as solues dessa inequao na reta numerada:

<F->
    unidade 
    r:::::w
:::: :::o:::o:::o:::o::
   -2  -1   0   1   2...
            sentido positivo
            :::::::::::::::>
<F+>

<R+>
 Indicamos com uma bolinha no cheia que -2 no  soluo.
<R->

  Estas inequaes que apareceram no procedimento de resoluo so 
<P>
 equivalentes, pois tm as mesmas solues.

 3x-xo-8+4
 2xo-4
 xo-2

  A inequao mais simples equivalente a 3x-4ox-8  xo-2.
  Paulo pensou em um nmero inteiro.

<R+>
_`[{quatro colegas conversam; contedo a seguir_`]
 Um menino diz: "Do triplo dele tirando 8 unidades  o que resta  ainda maior que o prprio nmero!"
 Uma menina diz: "Eu sei!  10."
 Outro menino diz: "Eu acho que  5."
 Outra menina diz: "Pois eu acho que  20."
<P>
 wr
  Qual deles deu a resposta correta?
  O que podemos afirmar sobre o nmero em que Paulo pensou?
<R->

  Nessa situao vamos representar o nmero inteiro em que Paulo pensou por *x*.

<R+>
 x -- nmero inteiro em que Paulo pensou
 3.x -- o triplo desse nmero
 O triplo de um nmero inteiro menos 8 unidades  maior que o nmero.
 3x-8ox
<R->

<220>
  Resolvemos essa inequao aplicando os princpios das desigualdades. Acompanhe os clculos:

_`[{a professora diz_`]
  "Adicionamos 8 a cada membro. Subtramos *x* de cada membro. Dividimos cada membro por 2."
<P>
 3x-8ox
 3x-8+8ox+8
 3xox+8
 3x-xox+8-x
 2xo8
 2x~2o#"b
 xo4

  O nmero em que Paulo pensou pode ser qualquer nmero inteiro maior que 4. O problema proposto por Paulo tem infinitas solues.

<R+>
 wr
  Quais so as solues da inequao no quadro a seguir?

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l -2.`(y+8`)=3.`(2y-1`)-1 _
h::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 *y* representa um nmero inteiro.
<R->

  Comeamos eliminando os parnteses:
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "Aplicamos a propriedade distributiva."

<R+>
 -2.`(y+8`)3.`(2y-1`)-1
 -2y-16=6y-3-1
 Escolhemos o 1 membro para isolar *y*.
 -2y-6y=-3-1+16
 -8y=12
 8y~-8o=12~-8
 Invertemos o sentido da desigualdade.
 yo=-#:b
<R->

  Os valores possveis para *y* so os nmeros inteiros maiores ou iguais a -#:b.
  Vamos representar as solues na reta numerada:

<F->
    unidade 
   r::::::w
     -#:b
:::o:::o:::o:::o:::o:::o:::
   -2  -1   0   1   2   3
                sentido positivo
                :::::::::::::::>
<F+>
<P>
  Podemos indicar as solues de uma inequao por meio de uma linguagem simblica como se v a seguir.

 Soluo: y,_z, yo=-#:b

<221>
<R+>
 wr
  Resolva esta inequao em seu caderno.
<R->

 ?x-2*~3-?5x+1*~2o3
 *x* representa um nmero natural.

  Reduzimos todos os termos da inequao ao menor denominador comum.

 m.m.c.`(3, #b`)=6

 ?2.`(x-2`)-3.`(5x+1`)*~6o?6.
  .3*~6
 6.?2.`(x-2`)-3.`(5x+1`)*~6o
  o?6.3*~6.6
 2.`(x-2`)-3.`(5x+1`)o18
 2x-4-15x-3o18

_`[{a professora diz_`]
  "Vamos escolher o 2 membro para isolar *x*."

 -4-3-18o-2x+15x -- -25o13x
 13x-25 -- x-#;?ac

  O valor de *x* deve ser menor que -#;?ac. Como -#;?ac  um nmero negativo e *x* representa um nmero natural, a inequao ?x-2*~3-?5x+1*~2o3 no tem soluo no conjunto dos nmeros naturais.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 58. Os nmeros destacados nesta reta numerada representam as solues de uma inequao na incgnita *x*. Anote as inequaes representadas nessa reta numerada:
<P>
<F->
::::o:::o:::o:::o:::o:::o
   -2  -1   0   1   2 ...           
<F+>

 a) x,_n, x=2
 b) x,_z, x=2
 c) x,_z, x3
 d) x,_z, xo=-2
 e) x,_q, xo2
 f) x,_r, x=2

 59. Os nmeros inteiros representados nas retas numeradas a seguir so solues de uma inequao. Qual  a inequao mais simples equivalente a cada uma?
<F->
a)
::o:::o:::o:::o:::o:::o::o
  0   1   2   3   4   5

b)          
::::o:::o:::o:::o:::o
   -4  -3  -2  -1 ... 
<P> 
c)         
::::o:::o:::o:::o::o
   -2  -1   0   1   
 
d)         
::::o:::o:::o:::o::o
   -4  -3  -2  -1              
<F+>

<222>
_`[{para as atividades 60 e 61, pea orientao ao professor_`]

 60. Nas atividades a seguir, os valores que podem ser atribudos a *y* so nmeros reais. Represente cada inequao em uma reta numerada:
 a) yo=-5
 b) y=#:d
 c) -12y e y=-8, ou seja, -12y=-8
 d) -#,?ajy2

 61. A letra *x* representa um nmero natural na inequao 6x-52x-1.
<P>
 a) Quais so as solues dessa inequao?
 b) Represente na reta numerada as solues.

 62. Resolva estas inequaes do 1 grau com uma incgnita:

 Quando no for citado, *x* representa um nmero do conjunto mais amplo que se conhece, que  _r.

 a) 3x-15, no qual *x* representa um nmero natural.
 b) 2y-21o9y, no qual *y* representa um nmero inteiro.
 c) m-2o=6m-13, no qual *m* representa um nmero racional.
 d) -4.`(3x+1`)-8=1-`(5x-3`)
 e) 10x-`(2x-5`)o-3.`(1-6x`)

 63. Quais so os nmeros inteiros que so solues da inequao -5`(x-1`)+22`(x+2`)-1?
<P>
 64. A letra *y* representa um nmero racional na inequao 3`(y-1`)-2`(y+2`)o=1-y. Quais so as solues dessa inequao?
 65. Qual o maior nmero inteiro que  soluo da inequao x~6+3o?2x-3*~4?

 66. Resolva estas inequaes em _r:
 a) ?x-1*~10-?x-3*~5#,b
 b) ?2`(-x-1`)*~4o1-?2-x*~18
 c) ?6x-7*~2-?27-x*~10o=0
<R->

 Troque ideias e resolva

  Para que o triplo da medida do lado do pentgono adicionado a 12 cm seja menor que 39 cm, qual  o maior nmero inteiro que se pode atribuir a *m*?
<P>
<F->
         A
         ie
       i    e
     i        e
    i          e 
B i            e E
   e            i
    e          im+4
     e        i
      e::::::i
      C    D
<F+>

<R+>
 {a{b{c{d{e  um pentgono regular.
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 67. Nesta figura, todos os lados tm medidas iguais e a letra *l* representa uma medida em centmetros. Que valores podem ser atribudos a *l* para que o permetro da figura seja menor que 32 cm?

<F->
      ie
    i    e
  i        e
i            e 
l            _
l            _ l~12
l            _
e            i
  e         i
    e     i
      ei 
<F+>

<223>
 68. Que valores podem ser atribudos a *x* para que o caminho traado de A at B seja maior que 108 cm?

<F->
     ie
    i  e x+3              iB
 x i    e             12 i
  i      e    x~2-5   i  
Ai       eo:::::::::oi
<F+>

 *x* representa uma medida em centmetros.
<P>
 69. Considere a inequao 4`(6y-3`)78y+6 no conjunto dos nmeros racionais e responda:
 a) Qual  a inequao mais simples equivalente a essa inequao?
 b) Zero  soluo da inequao dada? Por qu?
 c) Indique trs nmeros racionais que sejam solues da inequao dada.
 d) Se a letra *y* representasse um nmero inteiro, quais seriam as solues dessa inequao?

 70. Resolva as inequaes:
 a) x-x~2o1-?3`(5-x`)*~4
 b) #?f`(3-x`)-2o=#:h`(2x-1`)
 c) #,ab`(4x+10`)-2=#,i`(x-2`)

 71. Que nmeros inteiros so soluo ao mesmo tempo das inequaes x-2=6x-12 e x~3+917?
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Nos tringulos a seguir, compare a soma das medidas de dois lados com a medida do terceiro lado.

<F->
a)           ie
            i   e
          i      e
     4 i         e 3
      i            e
    i               e
  i                  e
j:::::::::::::::::::::h  
           5
           
b)     
         
          
  8        8
            
             
              
                 
j::::::::::::::::h
        9
<P>
c)                
                ^  
             ^   
       7 ^      6
       ^       
    ^         i
 ^            
j::::::::::::i
      2
<F+>

<R+>
 As medidas esto indicadas em centmetros.

  Faa em seu caderno tabelas como estas e registre nelas seus clculos.

<F->
_`[{tabelas adaptadas_`]
1 coluna: Soma de dois lados
2 coluna: Smbolo
3 coluna: Terceiro lado

4+5 -- > -- 3
5+3 -- ''' -- '''
3+4 -- ''' -- '''
8+9 -- ''' -- '''
8+8 -- ''' -- '''
9+8 -- ''' -- '''
2+6 -- ''' -- '''
6+7 -- ''' -- '''
7+2 -- ''' -- '''
<F+>

  Copie e complete a frase a seguir em seu caderno substituindo a ... por uma destas palavras: igual, maior ou menor.

 Concluso: Em um tringulo, a soma das medidas de dois lados quaisquer  ... que a medida do outro lado.

   possvel construir um tringulo com lados medindo 12 cm, 3 cm e 6 cm? Por qu?

<224>
 72. Que nmeros inteiros so soluo ao mesmo tempo das inequaes 3`(x+5`)o-2+2x e 2x~3-?x-5*~2=#,f?
<P>
 73. Considere os segmentos de reta _`[no adaptados_`]:
 a) Escolha trs desses segmentos de reta e desenhe com eles um tringulo.
 b) Quantos tringulos diferentes podero ser desenhados usando trs desses segmentos de reta como lados?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Problema resolvido

 74. Nesta figura, a letra *x* representa uma medida em centmetros e  um nmero inteiro positivo. ^c?{d{e*  o maior lado do tringulo {c{d{e. Qual  o valor de *x*?
<P> 
<F->
              C
              ie
            i   e
          i      e
      x i         e 2
      i            e
    i               e
  i                  e
j:::::::::::::::::::::h
D         11       E
<F+>

 Como o maior lado mede 11 cm, *x* deve ser menor que 11 -- x11.
 A medida do maior lado  menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

 med ^c?{d{e*  med ^c?{d{c* + med ^c?{c{e*
 11x+2
 11-2x -- 9x ou xo9
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "*x*  um nmero inteiro: xo9 e x11."
<P>
<R+>
 Resposta: O valor de *x*  10 cm.

 75. No tringulo {a{b{c, a letra *y* representa a medida, em centmetros, do maior lado desse tringulo. Quais valores podem ser atribudos a *y* se ele representa um nmero inteiro?

<F->
 A
  e.
   ? e.
    ?   e.
     ?    e. y
      ?     e. 
25 cm ?      e.
        ?       e.
         ?--------e
         B 3 cm C
<F+>

 76. Nesta figura, *m* representa a medida, em centmetros, do menor lado desse tringulo. Quais 
<P>
  valores podem ser atribudos a *m* se ele representa um nmero real?

<F->        
         e
           e
             e
    m          e 12,2 cm
                 e
                   e
                     e
                       e
 -----------------------o 
          17,8 cm          
<F+>
<R->

<225>
 Troque ideias e resolva

  Lucas contou a Joana que desenhou alguns tringulos escalenos com 50 cm de permetro e as medidas dos lados eram nmeros inteiros. Nesses tringulos, a medida do menor lado era um tero da medida do maior lado.
  Quais poderiam ser as medidas dos lados desses tringulos?
<P>
 Seo + (mais)

 Tringulos e possibilidades

  As medidas, em centmetros, dos lados de um tringulo so `(4x+3`), `(x+21`) e `(3x+8`).
<R+>
  Determine os possveis valores de *x* para obter um tringulo issceles.
  Qual dever ser o valor de *x* para que o permetro de um tringulo issceles seja o maior possvel? Quanto medir esse permetro?
<R->

 Leitura + (mais)

 Leia e divirta-se

  Um poeta ingls chamado Taylor Coleridge inventou o quebra-cabea a seguir _`[no adaptado_`].
  Voc seria capaz de resolv-lo?
  Em um pomar h trs portes com um guarda em cada um deles. Indo a esse pomar, passando pelos trs portes e apanhando certo nmero de mas, ao sair voc deve deixar a metade do total mais a metade de uma ma para o guarda do primeiro porto; a metade do restante mais a metade de uma ma para o guarda do segundo porto; e a metade do que restou mais a metade de uma ma para o guarda do terceiro porto.
<R+>
  Qual  o menor nmero de mas com que voc pode comear para no precisar cortar nenhuma ma ao meio?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<226> 
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Em uma fbrica #:g dos funcionrios tm menos que 35 anos e #;e do restante tm entre 36 e 45 anos. Os demais 576 funcionrios tm mais de 46 anos. Quantos funcionrios h nessa fbrica?
 2. Simplifique a expresso aritmtica e escreva-a na forma de frao: -0,25-3.1,444...+
  +#,cf.`[3-2.`(-7,5`)`].
 3. Os raios de duas circunferncias esto na razo #:g e a menor delas tem aproximadamente 18,6 cm de comprimento. Qual , aproximadamente, o raio da outra circunferncia?
 4. A diferena entre as medidas de dois ngulos complementares  32. Qual  a medida de cada um deles?

 Procure saber: O que so dois ngulos complementares?

 5. Acrescentando-se 7 cm a cada lado de um quadrado, a rea do novo quadrado aumentar 203 cm2. Qual  a medida do lado do quadrado inicial?
<P>
 6. O numerador de uma frao excede o dobro do denominador em 6 unidades. Subtraindo 3 unidades de ambos os termos obtm-se uma frao equivalente a #=b. Que frao  essa?
 7. No tringulo {p{q{r, as letras *x* e *y* representam medidas em graus.

_`[{figura adaptada_`]
 :{p est dividido em 3y-4 e 68
 :{q mede 5x
 :{r mede 42

<F-> 
            P       
            e
           _  e68
   3y-4 _    e
           _      e  
           _        e
           _          e
           _            e
 5x       _              e 42
    -------#---------------o 
    Q                      R                  
<F+>

 a) Determine o valor de *x* e de *y*.
 b) Qual o valor de med :{q?

 8. Determine o valor de *x* para que a soma 9~?x+7*+
  +x2~?x2+14x+49* seja igual a 1.
 9. Que valor de *y* torna a sentena 1~y-1~?y+3*=1~?y+
  +2*-1~?y+5* verdadeira?

 10. Resolva as inequaes a seguir em _q:
 a) 6-4xo1-2x
 b) 12x-2`(1+3x`)=-8
 c) -`(x+6`)o=5`(3x-6`)

 11. Resolva as inequaes a seguir em _r:
 a) -3`(1-2x`)+5x=4-2`(4-7x`)
 b) 5`(1-2x`)o4-3`(x-2`)

 12. Resolva as equaes fracionrias a seguir em _r:
<P>
 a) -5~2y+?6`(y-1`)*~3=2y
 b) ?4-5y*~?2`(y-1`)*-8y~?y-
  -1*=-3

 13. Resolva as equaes literais a seguir em que *y*  a incgnita:
 a) -3`(a-2y`)+2`(4a+6y`)=11a 
 b) ?4`(ay+1`)*~3-?3a`(2-
  -3y`)*~2=-?1+ay*~6

 14. Existem trapzios cujas bases maiores medem 60 cm e as alturas medem 15 cm. A rea desses trapzios, em centmetros quadrados, pode ser calculada pela frmula A=?`(60+b`).
  .15*~2.
<P>
<F->
              b
        ccccccccccccp
                    l 
                    l  
                    l   
                    l15 
                    l     
                    l      
                    l       
--------------------v--------
               60
<F+>

 a) Se a rea de um desses trapzios for 600 cm2, qual ser a medida da base menor?
 b) Resolva a equao considerando a base menor de medida *b* a incgnita.

<227>
 15. Considere os tringulos a seguir e escreva as trs desigualdades que envolvem as medidas dos lados.
<P>
 Medidas indicadas em metros.

<F->
a)
            A
             
          i  
     9 i       
      i         8
    i           
  i              
 -----------------z 
 B      10      C

b)
 M
  e.
   ? e.
    ?   e.
   y ?    e. z
      ?     e. 
       ?      e.
        ?       e.
         ?--------e
         N   x  P
<F+>

 16. As medidas dos lados de um tringulo so nmeros inteiros. Se o maior lado mede 15 cm e o 
<P>
  menor mede 2 cm, qual  a medida do terceiro lado?
 17. Dois lados de um tringulo medem 14,7 cm e 7,3 cm. Sabendo-se que a medida do maior lado  um nmero inteiro maior que 18, quais so as possveis medidas desse lado?
 18. No tringulo {l{u{a, a letra *y* representa as medidas em centmetros dos lados ^c?{l{u* e ^c?{a{l*. Se ^c?{u{a*  o lado maior e mede 17 cm, quais so as possveis medidas de ^c?{l{u* e ^c?{a{l*?

 19. Resolva as inequaes a seguir em _r:
 a) ?7-2y*~5=?y+3*~2
 b) -`(5x-3`)+?45x-7*~6o?5+
  +3x*~4
 c) `(2x-3`)`(2x+3`)-4x`(x-5`)
  =-5
 d) ?y-2*~?2y+5*-1~?2y-5*
  ?2`(y2-5`)*~?4y2-25*
<P>
 20. O tanque de um carro contm 15 litros de combustvel, o que corresponde a 25% de sua capacidade. Quantos litros ainda podem ser colocados no tanque desse carro?
 21. A produo de um artigo em uma fbrica tem um custo fixo de R$120,00 mais um acrscimo de 1% sobre esse valor, por artigo. Quantos artigos podero ser produzidos com R$12.120,00?
 22. Em um retngulo o comprimento  o dobro da largura. O triplo do permetro desse retngulo  81 centmetros. Quais so as dimenses desse retngulo?

 23. (Saresp) A expresso `(3x-2`).4y  equivalente a:
 a) 12xy-2 
 b) 4xy 
 c) 12xy-8y
 d) 3x-8y
<P>
 24. (Saresp) Medi o comprimento da roda de minha bicicleta e, a seguir, calculei a razo entre essa medida e o dimetro da roda, encontrando um nmero entre:
 a) 2 e 2,5 
 b) 2,5 e 3 
 c) 3 e 3,5
 d) 3,5 e 4

 25. Os raios de duas circunferncias esto na razo #:h. A razo do comprimento da circunferncia maior para a menor  de:
 a) #:h
 b) #"c
 c) #,h
 d) 2

 26. A soluo da equao na incgnita *y*, ay-4=y-3a, para a=1 :
 a) 3 
 b) 0 
<P>
 c) -1
 d) No existe.

 27. (Saresp) O preo de uma corrida de txi  composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilmetro rodado. Uma firma contratou um txi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. O nmero *x* de quilmetros que o motorista do txi pode percorrer nesse passeio  representado por:
 a) x50 
 b) x60 
 c) x114
 d) x120

 28. (Saresp) Considere este tringulo {a{b{c. Realizando uma rotao de 90 no sentido horrio em torno do vrtice A, observaremos que:
<P>
<F->
C

le
l e
l^ae
l   e
l    e
l     e
l      e
v-------o
A     B
<F+>

 a) as medidas de ^c?{a{b* e ^a se mantm.
 b) a medida de ^c?{a{b* se mantm, mas a de ^a, no.
 c) a medida de ^a se mantm, mas a de ^c?{a{b*, no.
 d) as medidas de ^c?{a{b* e ^a iro alterar-se.
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Sexta Parte